Question

如圖所示，有一塊半徑長為1米的半圓形鋼板，現要從中截取一個內接等腰梯形部件，設梯形部件的面積為平方米.

（1）按下列要求寫出函數關系式：

①設(米)，將表示成的函數關系式；②設，將表示成的函數關系式.

（2）求梯形部件面積的最大值．

Answer 1

（1）①，②；（2）的最大值是.

【解析】

試題分析：（1）①利用等腰梯形的性質結合勾股定理可以將等腰梯形的腰用含的代數式表示出來，從而可得與的函數關系式：，②：仿照（1）中的作法，將相關線段長度用含的代數式表示出來即可：；（2）根據（1）可得，問題等價于求（1）中所得的函數解析式的最大值，選擇②中求得的函數解析式，考慮利用導數判斷其單調性來求其最值：

，

令，得，即，(舍)，

∴當時， ，∴函數在上單調遞增，當時，，∴函數在上單調遞減 ， ∴當時，.

試題解析：（1）①∵，∴，，

∴， 4分

②∵，∴，

∴， 8分

（說明：若函數的定義域漏寫或錯誤，則一個扣1分）

（2），

10分

令，得，即，(舍)， 12分

∴當時， ，∴函數在上單調遞增，當時，，∴函數在上單調遞減 ， 14分 ∴當時，， 16分

答：梯形部件面積的最大值為平方米．

考點：1.三角函數的運用；2.三角函數求最值.