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已知四面體四個頂點分別為A（2，3，1）、B（4，1，-2）、C（6，3，7）和D（-5，-4，8），則頂點D到平面ABC的距離為
11
11
．
分析：求出
AB
，
AC
，然后求出平面ABC的一個法向量，通過法向量與
AD
的數量積即可求出頂點D到平面ABC的距離．
解答：解：因為四面體四個頂點分別為A（2，3，1）、B（4，1，-2）、C（6，3，7）和D（-5，-4，8），
所以
AB
=（2，-2，-3），
AC
=（4，0，6），
AD
=（-7，-7，7）．
設平面ABC的法向量為
n
=（a，b，c）
所以
2a-2b-3c=0
4a+6c=0
，不妨令a=3，則c=-2，解得b=6．
平面ABC的法向量為
n
=（3，6，-2）．
所以頂點D到平面ABC的距離，就是
AD
在平面ABC的法向量投影的長度，即：|
n
•
AD
|
n
|
|=
|-21-42-14|
32+62+22
=11．
故答案為：11．
點評：本題考查空間向量的數量積的應用，平面法向量的求法，考查空間想象能力以及計算能力．
練習冊系列答案
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已知正方形四個頂點分別為O（0，0），A（1，0），B（1，1），C（0，1），曲線y=x2（x≥0）與x軸，直線x=1構成區域M，現將一個質點隨機地投入正方形中，則質點落在區域M內的概率是（　　）
A、
1
2
B、
1
4
C、
1
3
D、
2
5

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知四面體四個頂點分別為A（2，3，1）、B（4，1，-2）、C（6，3，7）和D（-5，-4，8），則頂點D到平面ABC的距離為______．

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A．
B．
C．
D．

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