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9.已知一個圓經過直線l:2x+y+4=0與圓C:x2+y2+2x-4y=0的兩個交點,并且有最小面積,則此圓的方程為x2+y2+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0.

分析 設出所求圓的方程為x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4=0)=0,找出此時圓心坐標,當圓心在直線2x+y+4=0上時,圓的半徑最小,可得此時面積最小,把表示出的圓心坐標代入2x+y+4=0中,得到關于λ的方程,求出方程的解得到λ的值,進而確定出所求圓的方程.

解答 解:可設圓的方程為x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0,
此時圓心坐標為(-1-λ,$\frac{4-λ}{2}$),
顯然當圓心在直線2x+y+4=0上時,圓的半徑最小,從而面積最小,
∴2(-1-λ)+$\frac{4-λ}{2}$+4=0,
解得:λ=$\frac{8}{5}$,
則所求圓的方程為:x2+y2+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0.
故答案為:x2+y2+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0.

點評 此題考查了直線與圓相交的性質,根據題意設出所求圓的方程,找出圓心坐標,得出圓心在直線2x+y+4=0上時面積最小是解本題的關鍵.

練習冊系列答案
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