Question

9．已知一個圓經過直線l：2x+y+4=0與圓C：x²+y²+2x-4y=0的兩個交點，并且有最小面積，則此圓的方程為x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

Answer 1

分析 設出所求圓的方程為x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4=0）=0，找出此時圓心坐標，當圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，可得此時面積最小，把表示出的圓心坐標代入2x+y+4=0中，得到關于λ的方程，求出方程的解得到λ的值，進而確定出所求圓的方程．

解答 解：可設圓的方程為x²+y²+2x-4y+λ（2x+y+4）=0，
即x²+y²+2（1+λ）x+（λ-4）y+4λ=0，
此時圓心坐標為（-1-λ，$\frac{4-λ}{2}$），
顯然當圓心在直線2x+y+4=0上時，圓的半徑最小，從而面積最小，
∴2（-1-λ）+$\frac{4-λ}{2}$+4=0，
解得：λ=$\frac{8}{5}$，
則所求圓的方程為：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．
故答案為：x²+y²+$\frac{26}{5}$x-$\frac{12}{5}$y+$\frac{32}{5}$=0．

點評 此題考查了直線與圓相交的性質，根據題意設出所求圓的方程，找出圓心坐標，得出圓心在直線2x+y+4=0上時面積最小是解本題的關鍵．