Question

19．如圖，圓O的半徑OB垂直于直徑AC，M為AO上一點，BM的延長線交圓O于點N，過點N的切線交CA的延長線于點P，連接BC，CN．
（1）求證：∠BCN=∠PMN；
（2）若∠BCN=60°，PM=1，求OM的長．

Answer 1

分析 （1）連接ON，則ON⊥PN，由半徑相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切線的性質和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，進而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割線定理即可證明；
（2）證明△PMN為等邊三角形，得到MN=PM=1．設圓的半徑為r，則在△BOM中，OB=r，OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$，根據相交弦定理MB•MN=MA•MC，即可得出結論．

解答 （1）證明：連接ON，則ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切線，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，
∵∠BCN=∠PNM，
∴∠BCN=∠PMN；
（2）解：∵∠PNM=∠PMN=∠BCN=60°，
∴△PMN為等邊三角形，
∴MN=PM=1．
設圓的半徑為r，則在△BOM中，OB=r，OM=$\frac{r}{\sqrt{3}}$，MB=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$
根據相交弦定理MB•MN=MA•MC，
可得$\frac{2r}{\sqrt{3}}×1=（r-\frac{r}{\sqrt{3}}）（r+\frac{r}{\sqrt{3}}）$，∴r=$\sqrt{3}$，
∴OM=1．

點評 本題考查圓的切割線定理、相交弦定理的運用，考查推理和運算能力，屬于中檔題．