【題目】已知函數
.
（1）討論函數
的單調性；
（2）若
，
在
上恒成立，求
的取值范圍.
【答案】（1）見解析；
（2）
.
【解析】
（1）先求導數
，對a分類討論后分別解出f′（x）＞0與f′（x）<0的解集，從而得出函數f（x）的單調性．
（2）構造函數g（x）＝（k-1）lnx+x
，x＞1，求導后令導函數的分子為h(x)，研究h（x）的正負得到g(x)的單調性與極值、最值，可得滿足條件的k的取值范圍；
（1）由題可知
①當
時，此時
恒成立 ，
在
遞增 .
②當
時，令
解得
;令
解得
.
在
遞減，在
遞增.
（2）原不等式等價變形為
恒成立.
令
則
令
①當
時，此時
的對稱軸：
在
遞增.又
在恒成立.
在恒成立，即
在遞增.
.
符合要求.
②當
時，此時
在有一根，設為
當
時，
即
.在
上遞減.
.這與
恒成立矛盾.
綜合①②可得:.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在正三棱錐
中，側棱長為3，底面邊長為2，E，F分別為棱AB，CD的中點，則下列命題正確的是( )
A.EF與AD所成角的正切值為
B.EF與AD所成角的正切值為
C.AB與面ACD所成角的余弦值為
D.AB與面ACD所成角的余弦值為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數
的圖象與函數
的圖象關于直線
對稱，則關于函數
以下說法正確的是（ ）
A. 最大值為1，圖象關于直線
對稱B. 在
上單調遞減，為奇函數
C. 在
上單調遞增，為偶函數D. 周期為
，圖象關于點
對稱
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】全民健身倡導全民做到每天參加一次以上的體育健身活動，旨在全面提高國民體質和健康水平.某部門在該市2013-2018年發布的全民健身指數中，對其中的“運動參與評分值
”（滿分100分）進行了統計，制成如圖所示的散點圖.
（1）根據散點圖，建立關于
的回歸方程
；
（2）從該市的市民中隨機抽取了容量為150的樣本，其中經常參加體育鍛煉的人數為50，以頻率為概率，若從這150名市民中隨機抽取4人，記其中“經常參加體育鍛煉”的人數為
，求的分布列和數學期望.
附：對于一組數據
，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某化工企業2018年年底投入100萬元，購入一套污水處理設備。該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外，每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元。設該企業使用該設備
年的年平均污水處理費用為
（單位：萬元）
（1）用表示；
（2）當該企業的年平均污水處理費用最低時，企業需重新更換新的污水處理設備。則該企業幾年后需要重新更換新的污水處理設備。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知線段AB的端點B的坐標是（4，2），端點A在圓C：（x+2）2+y2＝16上運動．
（1）求線段AB的中點的軌跡方程H．
（2）判斷（1）中軌跡H與圓C的位置關系．
（3）過點P（3，2）作兩條相互垂直的直線MN，EF，分別交（1）中軌跡H于M，N和E，F，求四邊形MNFE面積的最大值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的兩個焦點分別為
、
，
，點
在橢圓上，且
的周長為
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若點
的坐標為
，不過原點
的直線
與橢圓相交于
，
兩點，設線段
的中點為
，點到直線的距離為
，且，，三點共線，求
的最大值.
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