Question

16．已知數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=2（S_n+n+1）（n∈N*），令b_n=a_n+1．
（Ⅰ）求證：{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）記數列{nb_n}的前n項和為T_n，求T_n；
（Ⅲ）求證：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$$+\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$$＜\frac{11}{16}$．

Answer 1

分析 （I）a₁=2，a_n+1=2（S_n+n+1）（n∈N*），可得a₂=8．利用遞推關系可得：a_n+1=3a_n+2，變形為：a_n+1+1=3（a_n+1），即b_n+1=3b_n，即可證明．
（II）由（I）可得：b_n=3ⁿ．利用“錯位相減法”與等比數列的求和公式即可得出．
（III）b_n=3ⁿ=a_n+1，解得a_n=3ⁿ-1．由$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}＞$$\frac{1}{{3}^{k}}$，即可證明左邊不等式成立．又由$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}$=$\frac{{3}^{k+1}-1}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$＜$\frac{{3}^{k+1}}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{{3}^{k}-1}-\frac{1}{{3}^{k+1}-1}）$，即可證明右邊不等式成立．

解答 （I）證明：a₁=2，a_n+1=2（S_n+n+1）（n∈N*），∴a₂=2×（2+1+1）=8．
n≥2時，a_n=2（S_n-1+n），相減可得：a_n+1=3a_n+2，變形為：a_n+1+1=3（a_n+1），n=1時也成立．
令b_n=a_n+1，則b_n+1=3b_n．∴{b_n}是等比數列，首項為3，公比為3．
（II）解：由（I）可得：b_n=3ⁿ．
∴數列{nb_n}的前n項和T_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，
3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$×3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
解得T_n=$\frac{2n-1}{4}×{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．
（III）證明：∵b_n=3ⁿ=a_n+1，解得a_n=3ⁿ-1．
由$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}＞$$\frac{1}{{3}^{k}}$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+$…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}×\frac{1}{{3}^{n}}$，因此左邊不等式成立．
又由$\frac{1}{{a}_{k}}$=$\frac{1}{{3}^{k}-1}$=$\frac{{3}^{k+1}-1}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$＜$\frac{{3}^{k+1}}{（{3}^{k}-1）（{3}^{k+1}-1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{{3}^{k}-1}-\frac{1}{{3}^{k+1}-1}）$，
可得$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}[（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{3}-1}-\frac{1}{{3}^{4}-1}）$…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}（\frac{1}{8}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$＜$\frac{11}{16}$．因此右邊不等式成立．
綜上可得：$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$＜$\frac{1}{{a}_{1}}$$+\frac{1}{{a}_{2}}$$+\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$$＜\frac{11}{16}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式與求和公式、數列遞推關系、“錯位相減法”、“放縮法”、不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．