Question

12．已知函數$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，則實數a=$\sqrt{3}$；函數f（x）的最大值為1．

Answer 1

分析 （1）利用輔助角公式和二倍角基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結合三角函數的圖象和性質，即可求實數a以及f（x）的取值最小值．

解答 解：函數$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+θ），tanθ=$\frac{1}{a}$．
函數的對稱軸方程為2x+θ=$\frac{π}{2}$+kπ，（k∈Z）
對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，即$\frac{π}{3}+θ$=$\frac{π}{2}$+kπ，
可得θ=$\frac{π}{6}$+kπ，
∵tanθ=$\frac{1}{a}$．
∴$\frac{1}{a}$=tan（$\frac{π}{6}+kπ$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故a=$\sqrt{3}$
當2x+θ=$\frac{π}{2}+2kπ$時，函數f（x）取得最大值為1．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，屬于基礎題