Question

9．已知拋物線C：x²=4y的焦點為F，直線l：y=kx+a（a＞0）與拋物線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）設拋物線C在A和B點的切線交于點P，試求點P的坐標；
（Ⅱ）若直線l過焦點F，且與圓x²+（y-1）²=1相交于D，E（其中A，D在y軸同側），求證：|AD|•|BE|是定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線C：x²=4y的焦點F（0，1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立x²=4y與y=kx+a有x²-4kx-4a=0，則△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a，求出導函數$y'=\frac{1}{2}x$利用切線方程，結合韋達定理，化簡求解即可．
（Ⅱ）若直線l過焦點F，則a=1，則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．求出圓x²+（y-1）²=1圓心為F（0，1），半徑為1，由拋物線的定義有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，吐槽|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，利用|AD|•|BE|=y₁y₂，轉化求解|AD|•|BE|為定值．

解答 解：拋物線C：x²=4y的焦點F（0，1），…（1分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立x²=4y與y=kx+a有x²-4kx-4a=0，
則△=16（k²+a）＞0，且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4a．…（2分）
（Ⅰ）由x²=4y有$y=\frac{1}{4}{x^2}$，則$y'=\frac{1}{2}x$，…（3分）
則拋物線C在$A（{{x_1}，\frac{1}{4}x_1^2}）$處的切線為$y-\frac{1}{4}x_1^2=\frac{1}{2}{x_1}（{x-{x_1}}）$，
即$y=\frac{1}{2}{x_1}x-\frac{1}{4}x_1^2$…①…（4分）
同理拋物線C在$B（{{x_2}，\frac{1}{4}x_2^2}）$處的切線為$y=\frac{1}{2}{x_2}x-\frac{1}{4}x_2^2$…②…（5分）
聯立①②解得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，代入①式解得$y=\frac{{{x_1}{x_2}}}{4}=-a$，
即P（2k，-a）．…（6分）
（Ⅱ）若直線l過焦點F，則a=1，則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．
由條件可知圓x²+（y-1）²=1圓心為F（0，1），半徑為1，…（7分）
由拋物線的定義有|AF|=y₁+1，|BF|=y₂+1，…（8分）
則|AD|=|AF|-1=y₁，|BE|=|BF|-1=y₂，…10分，
|AD|•|BE|=y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）
=${k^2}{x_1}{x_2}+k（{{x_1}+{x_2}}）+1=-4{k^2}+4{k^2}+1=1$，
（或$|{AD}|•|{BE}|={y_1}{y_2}=\frac{x_1^2}{4}•\frac{x_1^2}{4}=\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}=\frac{{{{（{-4}）}^2}}}{16}=1$）
即|AD|•|BE|為定值，定值為1．…（12分）

點評 本題考查導數的應用，拋物線與直線的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．