Question

3．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），過P（-a，0）作圓x²+y²=b²的切線，切點為A，B，若∠APB=120°，則橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，根據∠APB=120°，得∠APO=60°，由此能夠得到a、b的關系，進一步得到橢圓C的離心率．

解答 解：如圖，

∵∠APB=120°，∴∠APO=60°，
∴$\frac{a}$=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴e=$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了數形結合的解題思想方法與數學轉化思想方法，是中檔題．