Question

已知直線l：（k-1）x+（2k+1）y=2k+1和圓C：（x-1）²+（y-2）²=16．
（Ⅰ）求證：無論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）求直線l被圓C截得的弦長的最小值和弦長取得最小值時實數k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線l解析式變形后，得到恒過（0，1），求出此點到圓心的距離d小于r，即此點在圓內，即可得到無論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）設直線l與圓C相交于A、B兩點，圓心C（1，2）到直線l的距離為d，圓C半徑為r，則d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，當r=4時，只需d最大即可，求出d的最大值，確定出|AB|的最小值，以及此時k的值即可．

解答：解：（Ⅰ）∵直線l變形得：（x+2y-2）k=x-y+1，
由

x+2y-2=0 x-y+1=0

，解得：

x=0 y=1

，
∴直線l恒過定點M（0，1），
∵（0-1）²+（1-2）²=2＜16，
∴（0，1）在圓C內部，
則無論k取何值，直線l與圓C都相交；
（Ⅱ）設直線l與圓C相交于A、B兩點，圓心C（1，2）到直線l的距離為d，圓C半徑為r，
則d²+（

1

2

|AB|）²=r²，要使|AB|最小，當r=4時，只需d最大即可，
∵d≤|CM|，∴當d=|CM|=

2

時，|AB|最小，
此時2+（

1

2

|AB|）²=16，即|AB|_min=2

14

，
當弦長|AB|_min=2

14

時，直線AB⊥CM，
∵直線CM斜率為1，∴此時直線l斜率k=-1．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：恒過定點的直線方程，點與圓的位置關系，垂徑定理，勾股定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，弄清題意是解本題的關鍵．