Question

關于函數f（x）=2sin（x+φ）（φ為常數）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），h（x）=f（x）+g（x）；如下命題：
①設f（x）與g（x）的最小正周期分別是T₁與T₂，那么T₁+T₂=3π；
②當φ=

π

12

時，在區間(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）與g（x）都是增函數；
③當φ=0時，h（x）的最大值是

5

2

；
④當φ=

π

2

時，h（x）為偶函數．
其中正確命題的序號為

 

．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：根據正弦函數和余弦函數的圖象和性質，以及周期的定義函數的奇偶性和最值可知①②正確，③④錯誤

解答： 解：∵f（x）=2sin（x+φ）（φ為常數）和g(x)=-

1

2

cos(2x+

π

6

)（x∈R），
∴T₁=2π，T₂=π，故T₁+T₂=3π；①正確，
當φ=

π

12

時函數f（x）的單調增區間為[2kπ-

7π

12

，2kπ+

5π

12

]，k∈z，
函數g（x）的單調增區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z，
故在區間(-

π

12

，

π

6

)上，f（x）與g（x）都是增函數；故②正確，
∵h（x）=f（x）+g（x）=2sin（x+φ）-

1

2

cos（2x+

π

6

），
當φ=0時，h（x）=2sinx-

1

2

cos（2x+

π

6

），當x=

π

2

時，h（

π

2

）=2+

3

4

＜

5

2

故③錯誤
當φ=

π

2

時，h（x）=-2cosx-

1

2

cos（2x+

π

6

）=-2cosx-

3

4

cos2x+

1

4

sin2x，h（-x）=-2cosx-

3

4

cos2x-

1

4

sin2x≠h（x），
故④錯誤，
故答案為：①②

點評：本題主要考查了正弦函數和余弦函數的圖象和性質，屬于基礎題