Question

已知函數f（x）=

a•ex，x≤0 -lnx，x＞0

，（a＞0，其中e為自然對數的底數），若關于x的方程f（f（x））=0，有且只有一個實數解，則實數a的取值范圍為（　�。�

• A、（1，+∞）
• B、（1，2）
• C、（0，1）
• D、（0，1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點：函數的零點

專題：函數的性質及應用

分析：作出圖象函數f（x）=

a•ex，x≤0 -lnx，x＞0

，（a＞0，其中e為自然對數的底數），得出f（1）=0，轉化：關于x的方程f（f（x））=0，有且只有一個實數解，
f（x）=1，有且只有一個實數解，利用圖象可判斷分析．

解答： 解：∵函數f（x）=

a•ex，x≤0 -lnx，x＞0

，（a＞0，其中e為自然對數的底數），
∴圖象如下：

根據函數的圖象可判斷f（x）的零點為：1．
f（1）=0
∵關于x的方程f（f（x））=0，有且只有一個實數解，
∴f（x）=1，有且只有一個實數解，
∴根據圖象可判斷：0＜a＜1，
故選：C．

點評：本題考查了函數的圖象和性質，運用數形結合的思想解決函數零點問題，屬于中檔題．