Question

5．已知a∈R，函數f（x）=x²-a|x-1|．
（1）當a=1時，求函數f（x）的最小值；
（2）當a＜0時，討論y=f（x）的圖象與y=|x-a|的圖象的公共點個數．

Answer 1

分析 （1）由a=1時，求得f（x）的解析式，當x≥1時，由二次函數的對稱軸可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，根據函數的單調性f（x）≥f（1）=1；當x＜1時，f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$． 即可求得函數f（x）的最小值；
（2）當a＜0時，設h（x）=f（x）-g（x）=x²-a|x-1|-|x-a|，求得函數的g（x）的解析式，分類，根據二次函數圖象及性質即可求得函數的解的個數．

解答 解：（1）由a=1時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+1，x≥1}\\{{x}^{2}+x-1，x＜1}\end{array}\right.$，
當x≥1時，由二次函數的對稱軸可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）≥f（1）=1；
當x＜1時，由二次函數的對稱軸可知：x=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{1}{2}$，
f（x）≥f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$．
所以，f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{4}$；
（2）當a＜0時，設h（x）=f（x）-g（x）=x²-a|x-1|-|x-a|；
a＜0時，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+1）x+2a，x≥1}\\{{x}^{2}+（a-1）x，a≤x＜1}\\{{x}^{2}+（a+1）x-2a，x＜a}\end{array}\right.$，
x≥1時，h（1）=a＜0．
∴x≥1時，一個零點．
a≤x＜1時，解得：x₁=0，x₂=1-a＞1，（舍去）
所以，當a≤x＜1時，有且僅有一個零點．
x＜a時，△=a²+10a+1，對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$，h（a）=a（2a-1）＞0，
所以（ⅰ）a≤-$\frac{1}{3}$時，△＞0，對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$≥a，無零點；
（ⅱ）-$\frac{1}{3}$＜a＜-5+2$\sqrt{6}$時，△=a²+10a+1＜0，無零點；
（ⅲ）a=-5+2$\sqrt{6}$時，x=2-$\sqrt{6}$＜a=-5+2$\sqrt{6}$，一個零點；
（ⅳ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，
△=a²+10a+1＞0，對稱軸x=-$\frac{a+1}{2}$＜a，兩個零點．
綜上，（ⅰ）a＜-5+2$\sqrt{6}$時，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有2個；
（ⅱ）a=-5+2$\sqrt{6}$時，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有3個；
（ⅲ）-5+2$\sqrt{6}$＜a＜0時，y=f（x）與y=g（x）的圖象的公共點有4個．

點評 本題考查考查二次函數的圖象及性質，考查分段函數及絕對值函數的應用，考查函數的解析式應用，考查計算能力，考查分類討論思想，屬于中檔題．