Question

如圖，直線y=kx+b與橢圓=1交于A，B兩點(diǎn)，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當(dāng)|AB|=2，S=1時(shí)，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)利用橢圓的方程求得A，B的橫坐標(biāo)，進(jìn)而利用弦長公式和b，求得三角形面積表達(dá)式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直線與橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)而利用弦長公式求得AB的長度的表達(dá)式，利用O到直線AB的距離建立方程求得b和k的關(guān)系式，求得k．則直線的方程可得．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x₁，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₂，b），
由，解得，
所以=≤b²+1-b²=1．
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由
得，①
△=4k²-b²+1，
=．②
設(shè)O到AB的距離為d，則，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172954729590213/SYS201311031729547295902021_DA/10.png">，
所以b²=k²+1，代入②式并整理，得，
解得，，代入①式檢驗(yàn)，△＞0，
故直線AB的方程是或或，或．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．