Question

如圖，直線y=kx將曲線y=-

1

π2

(x-π)2+1(0≤x≤2π)與x軸所圍成的圖形分成了面積相等的兩部分，求k的值．

Answer 1

分析：利用導數的運算法則化為微積分基本定理即可得出．

解答：解：∵

∫

2π 0

(-

1

π2

x2+

2

π

x)dx=-

1

3π2

x3

.

2π 0

+

x2

π

.

2π 0

=

4π

3

，
設曲線y=-

1

π2

x2+

2x

π

與直線y=kx相交與點（t，kt），
∴kt=-

t2

π2

+

2t

π

，即交點為（0，0）或（2π-kπ²，2kπ-k²π²），
∴

∫

t 0

(-

1

π2

x2+

2-kπ

π

x)dx=-

1

3π2

x3

.

t 0

+

2-kπ

2π

x2

.

t 0

=

2-kπ

2π

t2-

1

3π2

t3=

2π

3

把t=2π-kπ²代入上式有：k=

2- 3 4

π

．

點評：熟練掌握導數的運算法則化為微積分基本定理是解題的關鍵．