Question

如圖，直線y=kx+b與橢圓

x2

4

+y2=1交于A，B兩點，記△AOB的面積為S．
（I）求在k=0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當|AB|=2，S=1時，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設出點A，B的坐標利用橢圓的方程求得A，B的橫坐標，進而利用弦長公式和b，求得三角形面積表達式，利用基本不等式求得其最大值．
（Ⅱ）把直線與橢圓方程聯立，進而利用弦長公式求得AB的長度的表達式，利用O到直線AB的距離建立方程求得b和k的關系式，求得k．則直線的方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設點A的坐標為（x₁，b），點B的坐標為（x₂，b），
由

x2

4

+b2=1，解得x1，2=±2

1-b2

，
所以S=

1

2

b•|x1-x2|=2b•

1-b2

≤b²+1-b²=1．
當且僅當b=

2

2

時，S取到最大值1．

（Ⅱ）解：由

y=kx+b x2 4 +y2=1

得(k2+

1

4

)x2+2kbx+b2-1=0，①
△=4k²-b²+1，
|AB|=

1+k2

•|x2-x1|=

1+k2

•

4k2-b2+1

1 4 +k2

=2．②
設O到AB的距離為d，則d=

2S

|AB|

=1，
又因為d=

|b|

1+k2

，
所以b²=k²+1，代入②式并整理，得k4-k2+

1

4

=0，
解得k2=

1

2

，b2=

3

2

，代入①式檢驗，△＞0，
故直線AB的方程是y=

2

2

x+

6

2

或y=

2

2

x-

6

2

或y=-

2

2

x+

6

2

，或y=-

2

2

x-

6

2

．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓與直線的位置關系等基礎知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．