Question

如圖，直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值．

Answer 1

分析：先由

y=kx y=x-x 2

得

x=1-k y=k-k 2

，根據直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍成圖形為面積相等的兩個部分得_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

∫₀¹（x-x²）dx下面利用定積分的計算公式即可求得k值．

解答：解：由

y=kx y=x-x 2

得

x=1-k y=k-k 2

（0＜k＜1）．
由題設得_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

∫₀¹（x-x²）dx即_∫0^1-k[（x-x²）-kx]dx=

1

2

（

1

2

x 2-

1

3

x3）|₀¹=

1

12

∴（1-k）³=

1

2

∴k=1-

3 4

2

∴直線方程為y=（1-

3 4

2

）x．
故k的值為：k=1-

3 4

2

．

點評：研究平面圖形的面積的一般步驟是：（1）畫草圖；（2）解方程組，求出交點坐標；（3）確定被積函數及上、下限；（4）進行計算．