Question

14．若數列{a_n}滿足a₂-a₁＜a₃-a₂＜a₄-a₃＜…＜a_n+1-a_n＜_…，則稱數列{a_n}為“差遞增”數列．若數列{a_n}是“差遞增”數列，且其通項a_n與其前n項和S_n滿足3S_n=1+λ-2a_n（n∈N^*），則λ的取值范圍是（-1，+∞）．

Answer 1

分析 根據數列遞推公式得到數列{a_n}是以2為公比的等比數列，求出數列{a_n}的通項公式，再根據新定義，即可求出λ的范圍．

解答 解：∵3S_n=1+λ-2a_n（n∈N^*），
n≥2時，3S_n-1=1+λ-2a_n-1，
兩式相減得5a_n=2a_n-1．
故數列{a_n}是以$\frac{2}{5}$為公比的等比數列，
當n=1時，a₁=$\frac{1+λ}{5}$，∴a_n=$\frac{1+λ}{5}•（\frac{2}{5}）^{n-1}$，
可得a_n+1-a_n=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-1}×（-\frac{3}{5}）$，a_n-a_n-1=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-2}×（-\frac{3}{5}）$，
由此可得（a_n+1-a_n）-（a_n-a_n-1）=$\frac{1+λ}{5}×（\frac{2}{5}）^{n-2}（-\frac{3}{5}）^{2}＞0$，
可得1+λ＞0⇒λ＞-1
故答案為：（-1，+∞）

點評 本題考查了遞推關系、不等式的解法、新定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．