Question

已知α，β∈R且αβ≠0，數列{x_n}滿足x₁=α+β，x2=α2+αβ+β2，x_n+2=（α+β）x_n+1-αβ•x_n（n≥1，n∈N），令b_n=x_n+1-αx_n．
（1）求證：{b_n}是等比數列；
（2）求數列{x_n}的通項公式；（不能直接使用競賽書上的結論，要有推導過程）
（3）若α=β=

1

2

，求{x_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，推出

bn+1

bn

是常數，即可證明{b_n}是等比數列；
（2）通過α≠β與α=β，分別求出數列{x_n}的通項公式；（不能直接使用競賽書上的結論，要有推導過程）
（3）利用（2）的結論，通過α=β=

1

2

，寫出{x_n}的通項公式，利用錯位相減法求出前n項和S_n．

解答：解：（1）因為b_n=x_n+1-αx_n．
所以b₁=x₂-αx₁=α²+αβ+β²-α（α+β）=β²．

bn+1

bn

=

xn+2-αxn+1

xn+1- αxn

=β．所以{b_n}是等比數列；
（2）①當α≠β時，∴x_n-αx_n-1=β（x_n-1-αx_n-2），x_n-βx_n-1=α（x_n-1-βx_n-2），
由等比數列性質可得，
x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2=βⁿ，
x_n-βx_n-1=（x₂-βx₁）α^n-2=αⁿ，
聯立解得：x_n=

αn+1-βn+1

α-β

，
②當α=β時，由①可得，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）β^n-2，
∵α=β，x_n-αx_n-1=（x₂-αx₁）α^n-2=αⁿ，即x_n=αx_n-1+αⁿ，
等式兩邊同除以αⁿ，得：

xn

αn

=

xn-1

αn-1

+1
即

xn

αn

-

xn-1

αn-1

=1，
數列{

xn

αn

}是以1為公差的等差數列，

xn

αn

=

x1

α

+(n-1)×1=

2α

α

+n-1=n+1，
xn=(n+1)αn
綜上所述，xn=

αn+1-βn+1 α-β ，(α≠β) (n+1)αn+1，(α=β)

…（10分）
（3）因為α=β=

1

2

，由（2）可得xn=(n+1)•(

1

2

)n
S_n=[(

1

2

) +(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n ]+[(

1

2

) +2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n ]，
令P=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+n×(

1

2

)n，…①

1

2

P=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1…②，
①-②得，

1

2

P=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n ×(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n ×(

1

2

)n+1．
∴S_n=1-(

1

2

)n+2-(

1

2

)n-1-n(

1

2

)n=3-(n+3)(

1

2

)n…（14分）

點評：本題考查數列的判定，數列通項公式與前n項和的求法，考查分類討論思想，計算能力．