Question

【題目】已知冪函數，滿足．

（）求函數的解析式．

（）若函數，，是否存在實數使得的最小值為？

若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（）若函數，是否存在實數，，使函數在上的值域為？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（）；（）；（）

【解析】試題分析：（1）根據冪函數是冪函數，可得，求解的值，即可得到函數的解析式；

（2）由函數，利用換元法轉化為二次函數問題，求解其最小值，即可求解實數的取值范圍；

（3）由函數，求解的解析式，判斷其單調性，根據在上的值域為，轉化為方程有解問題，即可求解的取值范圍．

試題解析：

（）∵為冪函數，∴，∴或．

當時，在上單調遞減，

故不符合題意．

當時，在上單調遞增，

故，符合題意．∴．

（），

令．∵，∴，∴，．

當時，時，有最小值，

∴，．

②當時，時，有最小值．∴，（舍）．

③當時，時，有最小值，

∴，（舍）．∴綜上．

（），

易知在定義域上單調遞減，

∴，即，

令，，

則，，∴，∴，

∴．

∵，

∴，∴，∴，

∴．

∵，∴，∴，

∴ ．∴．