Question

已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)A（0，1）的直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，若OM⊥ON，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）代入構(gòu)造方程組，從而求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A（0，1）的直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線代入橢圓的方程，再利用韋達(dá)定理求得 x₁+x₂ 和x₁•x₂．根據(jù)OM⊥ON，即

OM

•

ON

=0，求得k的值．根可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0，m≠n），
∵橢圓C經(jīng)過（-

1

2

，

3

），（

2

2

，

2

）兩點(diǎn)，
∴

1 4 m+3n=1 1 2 m+2n=1

，
解得：

m=1 n= 1 4

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2

4

+x2=1．
（Ⅱ）由題意知，直線l的斜率存在，
設(shè)直線l與橢圓C交于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
由

y2 4 +x2=1 y=kx+1

，可得 （k²+4）x²+2kx-3=0，
∴x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁•x₂=-

3

k2+4

．
∵OM⊥ON，
∴

OM

•

ON

=0，
即 x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
即 （1+k²）（

-3

k2+4

）+k（

-2k

k2+4

）+1=0，化間得-4k²+1=0，解得k=±

1

2

．
故直線l的方程為：y=±

1

2

x+1，即x-2y+2=0，或x+2y-2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．