Question

已知函數y=f（x）是定義域為R的偶函數．當x≥0時，f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

，若關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數根，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-5，-3）∪（-1，0）
• B、(-5，-2)∪(-

  9

  2

  ，

  9

  2

  )
• C、(-5，-

  9

  2

  )∪(-

  9

  2

  ，-2)
• D、（-

  9

  2

  ，-2)∪(-2，-1)

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數判斷

專題：計算題,作圖題,函數的性質及應用

分析：作出f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

的圖象，從而由題意可得x²+ax+b=0的兩根分別x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

或0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；從而求解．

解答： 解：作出f（x）=

5 2 x2(0≤x≤1) ( 1 2 )x+2(x＞1)

的圖象如下，

又∵函數y=f（x）是定義域為R的偶函數，
且關于x的方程[f（x）]²+af（x）+b=0，a，b∈R有且僅有6個不同實數根，
∴x²+ax+b=0的兩根分別為x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

或0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；
由韋達定理可得，x₁+x₂=-a；
若x₁=

5

2

，2＜x₂＜

5

2

，
則

9

2

＜-a＜5，
即-5＜a＜-

9

2

；
若0＜x₁≤2，2＜x₂＜

5

2

；
則2＜-a＜

9

2

，
故-

9

2

＜a＜-2；
故選C．

點評：本題考查了函數的零點與方程的根的聯系，屬于中檔題．