Question

已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．

（1）求f（x）的解析式

（2）已知k的取值范圍為,則是否存在區(qū)間[m，n]（m＜n，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，

∴恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0．∴b=－2a．       

∴．

∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，

∴二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根，

∴

                    

（2）

           

即為方程的兩根

．                          

∵m＜n且．

故當(dāng)；

當(dāng)k＞1時(shí)，

當(dāng)k=1時(shí)，[m，n]不存在．