Question

（09年湖北重點中學聯(lián)考理）(13分)

已知二次函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若函數(shù)上是單調減函數(shù)，那么：

① 求k的取值范圍；

② 是否存在區(qū)間[m，n]，使得f（x）在區(qū)間[m，n]上的值域恰好為[km，kn]？若存在，請求出區(qū)間[m，n]；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解析：（1）∵f（x+1）為偶函數(shù)，∴

即恒成立，

即（2a+b）x=0恒成立，∴2a+b=0∴b=－2a∴

∵函數(shù)f（x）的圖象與直線y=x相切，

∴二次方程有兩相等實數(shù)根，

∴

                               　　　　　　（4分）

（2）①，

在上恒成立。

故k的取值范圍為                                　　　　　　（7分）

②

                       　　　　　（9分）

即   　　　　　（11分）

∵m＜n

故當；

當k＞1時，；

當k=1時，[m，n]不存在．                                　　　　　（13分）