Question

【題目】已知函數

（1）試確定在上的單調性；

（2）若，函數在（0,2）上有極值，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）的增區間為，減區間為（2）

【解析】(1)對已知函數f(x)求導得，f′(x)＝.

由1－lnx＝0，得x＝e.

∴當x∈(0，e)時，f′(x)>0；當x∈(e，＋∞)時，f′(x)<0，

∴函數f(x)在(0，e]上單調遞增，在[e，＋∞)上單調遞減．

(2)由h(x)＝xf(x)－x－ax2，

可得h(x)＝lnx－x－ax2，

則h′(x)＝－1－2ax＝.

h(x)＝xf(x)－x－ax2在(0,2)上有極值的充要條件是φ(x)＝－2ax2－x＋1在(0,2)上有零點，

∴φ(0)·φ(2)<0，解得a>－.

綜上所述，a的取值范圍是(0，＋∞)．