Question

已知f(x)=cosx(

3

sinx+cosx)
（1）當x∈[0，

π

2

]，求函數f（x）的最大值及取得最大值時的x；
（2）若b、c分別是銳角△ABC的內角B、C的對邊，且b•c=

6

-

2

，f（A）=

1

2

，試求△ABC的面積S．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和的正弦公式、余弦公式化簡函數 f（x）的解析式為 sin（2x+

π

6

）+

1

2

，再由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域求得當x=

π

6

時，
函數f（x）取得最大值

3

2

．
（2）由f（A）=

1

2

，求得A=

5π

12

，利用兩角和的正弦公式求得sinA=sin（

π

4

+

π

6

）的值，可得△ABC的面積S=

1

2

bc•sinA 的值．

解答：解：（1）∵f（x）=cosx（

3

sinx+cosx）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+

1

2

，x∈[0，

π

2

]，可得（2x+

π

6

）∈[

π

6

，

7π

6

]，
sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域為[0，

3

2

]，當x=

π

6

時，函數f（x）取得最大值

3

2

．…（6分）
（2）由f（A）=

1

2

=sin（2A+

π

6

）+

1

2

，可得sin（2A+

π

6

）=0，A=

5π

12

，故 sinA=sin（

π

4

+

π

6

）=sin

π

4

cos

π

6

+cos

π

4

sin

π

6

=

6 + 2

4

．
可得△ABC的面積S=

1

2

bc•sinA=

1

2

×(

6

-

2

)×

6 + 2

4

=

1

2

．…（6分）

點評：本題主要考查兩角和的正弦公式、余弦公式，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．