Question

（2010•南京三模）如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，AC⊥CD，E是AA₁上的一點．
（1）求證：CD⊥平面ACE；
（2）若平面CBE交DD₁于點F，求證：EF∥AD．

Answer 1

分析：（1）要證CD⊥ACE，只需證明CD垂直平面ACE內的兩條相交直線AC與AA₁即可．
（2）平面CBE交DD₁于點F，證明EF∥AD，只需證明BC∥平面ADD₁A₁，EF∥BC，即可．

解答：證明：（1）因為直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，所以AA₁⊥平面ABCD，因為CD?平面ABCD，
所以AA₁⊥CD，因為AC⊥DC，
AC?平面AEC，A₁A∩AC=A，
所以CD⊥平面ACE
（2）因為AD∥BC，AD?平面ADD₁A₁，BC不在平面ADD₁A₁，所以BC∥平面ADD₁A₁，因為BC?平面BCE，
平面BCE∩平面ADD₁A₁=EF，所以EF∥BC，
因為AD∥BC，所以EF∥AD．

點評：本小題主要考查空間線面關系、直線與平面垂直，直線與直線平行等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力．