Question

設F₁，F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦點，P為雙曲線右支上任一點，當

|PF1|2

|PF2|

最小值為8a時，該雙曲線離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由定義知：|PF₂|-|PF₁|=2a，∴|PF₂|=2a+|PF₁|，∴

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a．
當且僅當

4a2

|PF1|

=|PF1|，即||PF₁|=2a時取得等號．然后利用焦半徑公式可以導出該雙曲線離心率e的取值范圍．

解答：解：由定義知：|PF₂|-|PF₁|=2a，
∴|PF₂|=2a+|PF₁|，
∴

|PF2|2

|PF1|

=

(2a+|PF1|)2

|PF1|

=

4a2

|PF1|

+4a+|PF1| ≥8a．
當且僅當

4a2

|PF1|

=|PF1|，即||PF₁|=2a時取得等號．
設P（x₀，y₀），（x₀≤-a）
依焦半徑公式得：|PF₁|=-e×x₀-a=2a，
∴e•x0=-3a，∴e=-

3a

x0

≤3
又∵e＞1，故e∈（1，3]
答案：（1，3]．

點評：本題考查雙曲線的定義、焦半徑、離心率、均值不等式，解題時要注意公式的合理選用．