Question

以正方形ABCD的相對頂點A、C為焦點的橢圓，恰好過正方形四邊的中點，則該橢圓的離心率為

10 - 2

2

；設F₁和F₂為雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩個焦點，若F₁，F₂，P（0，2b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為

2

；經過拋物線y=

1

4

x2的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若y₁+y₂=5，則線段AB的長等于

7

．

Answer 1

分析：設正方形邊長為2，設正方形中心為原點，設橢圓的標準方程，則可知c，的a和b的關系式，進而求得BC的中點坐標代入橢圓方程，得到a和b的另一關系式，最后聯立求得a，則橢圓的離心率可得；畫出圖形，可得

2b

c

=

3

，從而可求雙曲線的離心率；利用拋物線的定義，即可確定AB的長．

解答：解：設正方形邊長為2，設正方形中心為原點
則橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1
且c=

2

∴a²-b²=c²=2①
正方形BC邊的中點坐標為（

1

2

，

1

2

）
代入方程得到

1

2a2

+

1

2b2

=1②
聯立①②解得a=

5 +1

2

∴e=

c

a

=

10 - 2

2

；
如圖，∵

|PO|

|F1O|

=tan60°，
∴

2b

c

=

3

，
∴4b²=3c²，
∴4（c²-a²）=3c²，
∴c²=4a²，
∴e=

c

a

=2；
經過拋物線y=

1

4

x2的焦點作直線交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，則|AB|=y₁+y₂+2
∵y₁+y₂=5，∴|AB|=7
故答案為：

10 - 2

2

，2，7．

點評：本題主要考查了橢圓、雙曲線的簡單性質，考查拋物線的定義，考查學生的計算能力，屬于中檔題．