Question

設(shè)F₁、F₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若

PF12

PF2

的最小值恰是實(shí)軸長(zhǎng)的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是

（1，3]

．

Answer 1

分析：設(shè)|PF₂|=t，則由雙曲線的定義可得|PF₁|=2a+t，推出

P  F 2 1

PF2

的關(guān)系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出離心率的范圍．

解答：解：由雙曲線的定義可得|PF₁|-|PF₂|=2a．
設(shè)|PF₂|=t，則|PF₁|=2a+t，
所以

P  F 2 1

PF2

=

4a2+4at+t2

t

=

4a2

t

+t+4a≥2

4a2 t ×t

+4a=8a，
當(dāng)且僅當(dāng) t=2a時(shí)，等號(hào)成立．
因?yàn)镻為雙曲線右支上任一點(diǎn)，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=

c

a

≤3．
又因?yàn)?e＞1，
所以e的范圍為 （1，3]．
故答案為：（1，3]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，并且考查基本不等式的應(yīng)用，此題能夠正確利用 t≥c-a 是解題的關(guān)鍵．