Question

9．中國乒乓球隊備戰里約奧運會熱身賽暨選撥賽于2016年7月14日在山東威海開賽，種子選手A與非種子選手B₁，B₂，B₃分別進行一場對抗賽，按以往多次比賽的統計，A獲勝的概率分別為$\frac{3}{4}，\frac{2}{3}，\frac{1}{2}$，且各場比賽互不影響．
（Ⅰ）若A至少獲勝兩場的概率大于$\frac{2}{3}$，則A入選征戰里約奧運會的最終名單，否則不予入選，問A是否會入選最終的名單？
（Ⅱ）求A獲勝場數X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互獨立事件的概率公式，結合條件，即可求解；
（Ⅱ）據題意，X的可能值為0、1、2、3，求出概率，列出分布列，然后求解期望．

解答 解：（Ⅰ）記“種子A與非種子B₁、B₂、B₃比賽獲勝”分別為事件A₁、A₂、A₃$A={A_1}{A_2}{A_3}+\overline{A_1}{A_2}{A_3}+{A_1}\overline{A_2}{A_3}+{A_1}{A_2}\overline{A_3}$$P（A）=P（{A_1}{A_2}{A_3}+\overline{A_1}{A_2}{A_3}+{A_1}\overline{A_2}{A_3}+{A_1}{A_2}\overline{A_3}）$=$\frac{17}{24}＞\frac{2}{3}$
所以，A入選最終名單….6
（Ⅱ）X的可能值為0、1、2、3
$\begin{array}{l}P（x=0）=\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}=\frac{1}{24}\\ P（x=1）=\frac{3}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}=\frac{6}{24}\\ P（x=2）=\frac{3}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}+\frac{3}{4}•\frac{1}{3}•\frac{1}{2}+\frac{1}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{11}{24}\\ P（x=3）=\frac{3}{4}•\frac{2}{3}•\frac{1}{2}=\frac{6}{24}\end{array}$
所以，X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{24}$	$\frac{6}{24}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{6}{24}$

所以，數學期望：$E（X）=0×\frac{1}{24}+1×\frac{6}{24}+2×\frac{11}{24}+3×\frac{6}{24}=\frac{23}{13}$…..12

點評 本題考查離散型隨機變量的分布列，期望的求法，考查計算能力．