Question

已知等差數列{b_n}的前n項和為S_n，且b₁=

2

+1，S₃=3

2

+6
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）證明數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

考點：等比關系的確定,等差數列的前n項和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據等差數列的通項公式即可求數列{b_n}的通項公式；
（2）根據等比數列的定義建立方程關系，即可證明數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

解答： 解：（1）設等差數列的公差為d，
則S₃=3

2

+6=3（

2

+1）+

3×2

2

d=3（

2

+1）+3d，
解得d=

3 2 +6-3 2 -3

3

=

3

3

=1，
即數列{b_n}的通項公式為

2

+1+（n-1）=n+

2

；
（2）若數列{b_n}中任意的三項b_n-1，b_n，b_n+1都成為等比數列．
則b_n²=b_n-1b_n+1，
即（n+

2

）²=（n-1+

2

）（n+1+

2

）=[n+（

2

-1）][n+（

2

+1）]，
展開得n²+2

2

n+2=n²+2

2

n+1，
即2=1，則方程不成立，
故數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

點評：本題主要考查等差數列和等比數列的應用，根據等差數列和等比數列的通項公式是解決本題的關鍵．