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17.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=DC=CB=2,四邊形ACFE是矩形,AE=1,平面ACFE⊥平面ABCD,點G是BF的中點.
(1)求證:CG∥平面ADF;
(2)求三棱錐E-AFB的體積.

分析 (Ⅰ)取AB的中點H,連接CH,GH,由已知可得四邊形AHCD是平行四邊形,得到CH∥DA,進一步得到CH∥平面ADF,由GH是三角形ABF的中位線可得有GH∥平面ADF,由面面平行的判定得平面CGH∥平面ADF,繼而得到CG∥平面ADF;
(Ⅱ)由AB∥CD,結合已知得到四邊形ABCD是等腰梯形,由H是AB的中點,可得四邊形AHCD是菱形,得到BC⊥AC,又平面ACFE⊥平面ABCD,得到BC⊥平面ACEF,可知BC是三棱錐B-AEF的高,然后利用等積法求得三棱錐E-AFB的體積.

解答 (Ⅰ)證明:取AB的中點H,連接CH,GH,

∵AB=2AH=2CD,且DC∥AB,
∴AH∥DC且AH=DC,
∴四邊形AHCD是平行四邊形,
∴CH∥DA,則有CH∥平面ADF,
∵GH是三角形ABF的中位線,
∴GH∥AF,則有GH∥平面ADF,
又CH∩GH=H,
∴平面CGH∥平面ADF,
CG?平面CHG,則CG∥平面ADF;
(Ⅱ)解:∵AB∥CD,AB=2AD=2CD=2CB=4,
∴四邊形ABCD是等腰梯形,
H是AB的中點,
∴四邊形AHCD是菱形,CH=2,
∴BC⊥AC,
又∵平面ACFE⊥平面ABCD,交線為AC,
∴BC⊥平面ACEF,
即BC是三棱錐B-AEF的高,且BC=2,
∵VE-AFB=VB-AEF
在等腰三角形ADC中,求得AC=2$\sqrt{3}$,
∴VE-AFB=VB-AEF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

點評 本題考查直線與平面平行的判定,考查了棱錐體積的求法,訓練了等積法,是中檔題.

練習冊系列答案
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