Question

點P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線E:(a＞0，b＞0)上的一點，已知PF₁⊥PF₂，,O為坐標原點．

(Ⅰ)求雙曲線的離心率e；

(Ⅱ)過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點，且，=0,求雙曲線E的方程；

(Ⅲ)若過點Q(m，0)(m為非零常數)的直線l與(Ⅱ)中的雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且(λ為非零實數)，問在x軸上是否存在定點G，使?若存在，求出所有這種定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵|PF₁|=2|PF₂|,|PF₁|-|PF₂|=2a,

∴|PF₁|=4a,|PF₂|=2a

∵PF₁⊥PF₂,∴(4a)²+(2a)²=(2c)²,  ∴e= 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線的方程可設為,漸近線方程為y=±2x

設P₁(x₁,2x₁),P₂(x₂,-2x₂),P(x,y)  ∵=-3x₁x₂=-

∵2 

∵點P在雙曲線上，∴

化簡得x₁x₂=,∴=a²=2

∴雙曲線方程為 

(Ⅲ)設在x軸上存在定點G（t,0）,使

i)若直線l⊥x軸時，|m|＞（確保直線l與雙曲線E有兩個不同交點）

λ=1時，則有且對x軸上任一點G,

 

ii)若直線l不垂直x軸時，設直線l:y=k(x-m),M(x₃,y₃),M(x₄,y₄)

聯立(4-k²)x²+2k²mx-k²m²-8=0 

x₃x₄=  ∵

⊥()的充要條件為x₃-t-λx₄+λt=0

由=λy₃+λy₄=0λ=-

又∵y₃=k(x₃-m),y₄=k(x₄-m)  ∴x₃-t-λx₄+λt=x₃-t+

x₃-t+

2x₃x₄-(x₃+x₄)(m+t)+2mt=0

mt=2t=

綜上:在x軸上存在一點G(,0),使.