Question

（2013•門頭溝區一模）點P是以F₁，F₂為焦點的橢圓上的一點，過焦點F₂作∠F₁PF₂的外角平分線的垂線，垂足為M點，則點M的軌跡是（　　）

A．拋物線

B．橢圓

C．雙曲線

D．圓

Answer 1

分析：P是以F₁，F₂為焦點的橢圓上一點，過焦點F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為M，延長F₂M交F₁延長線于Q，可證得PQ=PF₂，且M是PF₂的中點，由此可求得OM的長度是定值，即可求點M的軌跡的幾何特征．

解答：解：由題意，P是以F₁，F₂為焦點的橢圓上一點，過焦點F₂作∠F₁PF₂外角平分線的垂線，垂足為M，延長F₂M交F₁延長線于Q，得PQ=PF₂，
由橢圓的定義知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PQ=QF₁=2a，
連接OM，知OM是三角形F₁F₂Q的中位線
∴OM=a，即點M到原點的距離是定值，由此知點M的軌跡是圓
故選D．

點評：本題考查求軌跡方程，關鍵是證出OM是中位線以及利用題設中所給的圖形的幾何特征求出QF₁的長度，進而求出OM的長度，再利用圓的定義得出點M的軌跡是一個圓．