Question

已知等差數列{a_n}（公差不為零）和等差數列{b_n}，如果關于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，那么以下九個方程x²-a₁x+b₁=0，x²-a₂x+b₂=0，x²-a₃x+b₃=0…，x²-a₉x+b₉=0中，無解的方程最多有

 

個．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：計算題,等差數列與等比數列

分析：設等差數列{a_n}（公差d₁不為零）和等差數列{b_n}的公差為d₂，運用求和公式，化簡可得，a₅²≥4b₅，討論
若d₂=0，則若d₁＞0，若d₁＜0，運用數列的單調性和二次方程的判別式的符號，即可得到．

解答： 解：設等差數列{a_n}（公差d₁不為零）和等差數列{b_n}的公差為d₂，
則關于x的方程9x²-（a₁+a₂+…a₉）x+b₁+b₂+…b₉=0有解，
則（a₁+a₂+…a₉）²-4×9（b₁+b₂+…b₉）≥0，
即有（

9(a1+a9)

2

）²-36×

9(b1+b9)

2

≥0，
即有a₅²≥4b₅，
則第5個方程有解，
若d₂=0，則若d₁＞0，則a₉＞a₈＞a₇＞a₆＞a₅，
即有5個方程有解，最多4個方程無解，
若d₁＜0，則a₁＞a₂＞a₃＞a₄＞a₅，
即有5個方程有解，最多4個方程無解．
故答案為：4

點評：本題考查等差數列和等比數列的通項和求和公式及運用，考查二次方程的解的情況，注意討論公差的符號，考查推斷能力，屬于中檔題和易錯題．