Question

已知g（x）=-x²-3，f（x）是二次函數，f（x）+g（x）是奇函數，且當x∈[-1，2]時，f（x）的最小值為1，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：用待定系數法求函數f（x）的解析式，設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），利用奇函數的定義列等式，利用二次函數的最值列不等式，從而求出系數即可．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
則g（x）+f（x）=（a-1）x²+bx+c-3為奇函數，
∴a=1，c=3（4分）
∴f(x)=x2+bx+3=(x+

b

2

)2+3-

b2

4

∵當x∈[-1，2]時f（x）的最小值為1
∴

- b 2 ＜-1 f(-1)=1-b+3=1

或

-1≤- b 2 ≤2 3- b2 4 =1

或

- b 2 ＞2 f(2)=4+2b+3=1

（8分）
解得b=3或b=-2

2

（10分）
∴f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2

2

x+3（12分）
故f（x）的表達式為：f(x)=x2+3x+3或f(x)=x2-2

2

x+3．

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式，由于已知函數的類型，故可設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），再利用條件確定系數即可解決問題．