Question

已知g（x）=x²+1，f（x）是二次函數，且f（x）+g（x）為奇函數，當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為

1

2

，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：根據題意先設出函數f（x）的解析式，再由奇函數的關系求出a、c的值，再由二次函數的性質和最大值求出b的值．

解答：解：設f（x）=ax²+bx+c（a≠0），則F（x）=f（x）+g（x）=（a+1）x²+bx+c+1為奇函數，
∴F（0）=0，且F（1）=-F（-1），∴a=-1，c=-1，得到f（x）=-x²+bx-1，
∵當x∈[-1，2]時，f（x）的最大值為

1

2

，∴

b 2 ＜-1 f(-1)= 1 2

或

-1≤ b 2 ≤2 f( b 2 )= 1 2

或

b 2 ＞2 f(2)= 1 2

解得b=-

5

2

，b=

6

所以f(x)=-x2-

5

2

x-1或f(x)=-x2+

6

x-1

點評：本題考查了待定系數法求函數解析式，即設出解析式利用題意列出方程，求出對應的系數值，對于函數參數的二次函數一定注意對稱軸與區間的關系，分類討論后再求出參數的值，考查了分類討論思想的應用．