Question

已知g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），是否存在實數a，b，使g（x）同時滿足下列兩個條件：（1）g（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數；（2）g（x）的最小值是3．若存在，求出a、b，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：求導函數，利用函數的單調性，可得g′（1）=0，利用g（x）的最小值是3，可得g（1）=0，由此即可得到結論．

解答：解：∵g（x）=

x2+ax+b

x

，∴g′（x）=1-

b

x2

∵g（x）在（0，1）上是減函數，在[1，+∞）上是增函數，
∴g′（1）=0，∴b=1
∵g（x）的最小值是3
∴g（1）=1+a+b=3，∴a=1
綜上，a=1，b=1．

點評：本題考查函數的單調性與最值，考查學生分析解決問題的能力，正確運用函數的單調性與最值是關鍵．