Question

【題目】已知二次函數(shù)滿足

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)令

若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

求函數(shù)在的最小值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝﹣x2+2x+15（2）①m≤0，或m≥2②見解析

【解析】

（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設(shè)出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應(yīng)系數(shù)相等解得．

（2）函數(shù)g（x）的圖象是開口朝上，且以x＝m為對稱軸的拋物線，

①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；

②分當(dāng)m≤0時，當(dāng)0＜m＜2時，當(dāng)m≥2時三種情況分別求出函數(shù)的最小值，可得答案．

解：（1）設(shè)f（x）＝ax2+bx+c，

∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，

∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1；

∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，

∴函數(shù)f（x）的表達式為f（x）＝﹣x2+2x+15；

（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的圖象是開口朝上，且以x＝m為對稱軸的拋物線，

①若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)函數(shù)，則m≤0，或m≥2；

②當(dāng)m≤0時，g（x）在[0，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x＝0時，函數(shù)g（x）取最小值﹣15；

當(dāng)0＜m＜2時，g（x）在[0，m]上為減函數(shù)，在[m，2]上為增函數(shù)，當(dāng)x＝m時，函數(shù)g（x）取最小值﹣m2﹣15；

當(dāng)m≥2時，g（x）在[0，2]上為減函數(shù)，當(dāng)x＝2時，函數(shù)g（x）取最小值﹣4m﹣11；

∴函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值為