Question

【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B．已知橢圓的離心率為，．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)M，且點(diǎn)P，M均在第四象限．若的面積是面積的2倍，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；(2)．

【解析】

分析：（I）由題意結(jié)合幾何關(guān)系可求得.則橢圓的方程為.

（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為 ，由題意可得.

易知直線(xiàn)的方程為，由方程組可得.由方程組可得.結(jié)合，可得，或.經(jīng)檢驗(yàn)的值為.

詳解：（I）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知得，又由，可得．由,從而．

所以，橢圓的方程為．

（II）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，由題意，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．由的面積是面積的2倍，可得，

從而，即．

易知直線(xiàn)的方程為，由方程組消去y，可得．由方程組消去，可得．由，可得，兩邊平方，整理得，解得，或．

當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，，符合題意．

所以，的值為．