Question

定義在區間（0，+∞）上的函數f（x）若滿足：（1）f（x）不恒為零；（2）對任意實數x，p，都有f（x^p）=pf（x），我們就稱f（x）為“降冪函數”
（1）判斷y=log₂x是否為“降冪函數”，并說明理由；
（2）若函數f（x）為“降冪函數”，證明：f（m•n）=f（n）+f（m）；
（3）若函數f（x）為“降冪函數”，且在（0，+∞）上單調遞增，f（2）=1，f（x）滿足f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：壓軸題,函數的性質及應用

分析：（1）利用“降冪函數”的概念，易判知y=log₂x是“降冪函數”；
（2）令n=m^p-1，利用“降冪函數”的概念，可證得f（m•n）=f（m•m^p-1）=f（m^p）=pf（m）①，f（n）+f（m）=（p-1）f（m）+f（m）=pf（m）②，從而可證；
（3）利用f（2）=1，f（x）為“降冪函數”，且在（0，+∞）上單調遞增，可將f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，轉化為m（sinθ+cosθ）+2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）+cos²θ）=m（sinθ+cosθ）+1+

3

sinθcosθ＞2m對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，分離參數m，通過構造函數，利用雙鉤函數的單調性質即可求得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵y=f（x）=log₂x不恒為零，滿足（1）；
f（x^p）=log₂x^p=plog₂x=pf（x），滿足（2）；
∴y=log₂x是“降冪函數”．
（2）∵f（x）為“降冪函數”，
∴m，n∈（0，+∞），令n=m^p-1，
則f（m•n）=f（m•m^p-1）=f（m^p）=pf（m）；①
又f（n）=f（m^p-1）=（p-1）f（m），
∴f（n）+f（m）=（p-1）f（m）+f（m）=pf（m）；②
由①②得：f（m•n）=f（n）+f（m）；
（3）∵函數f（x）為“降冪函數”，f（2）=1，
∴f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）-f（m）＞1=f（2）對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立
?f（m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）＞f（2）+f（m）=f（2m），又f（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，
∴m

1+sin2θ

+2sinθ•sin（θ+

π

3

）+cos²θ）＞2m對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，
即m（sinθ+cosθ）+2sinθ（

1

2

sinθ+

3

2

cosθ）+cos²θ）=m（sinθ+cosθ）+1+

3

sinθcosθ＞2m對一切θ∈[0，

π

2

]上恒成立，
由θ∈[0，

π

2

]得：t=sinθ+cosθ=

2

sin（θ+

π

4

）∈[1，

2

]，
∴sinθcosθ=

t2-1

2

，
∴m（2-t）＜1+

3

•

t2-1

2

，由于2-t＞0，
∴m＜

3 t2+2- 3

4-2t

=

3

2

（

t2-1+ 3 2

2-t

）=

3

2

•

[(2-t)+2]2-1+ 3 2

2-t

=

3

2

[（2-t）+

3+ 3 2

2-t

+4]，
令g（t）=（2-t）+

3+ 3 2

2-t

+4，t∈[1，

2

]，（2-t）∈[2-

2

，1]，
∴g（t）_min=g（1）=3+

3

2

+4=7+

3

2

，
∴m＜

3

2

（7+

3

2

）=

14 3 +3

4

．

點評：本題考查函數恒成立問題，對“降冪函數”概念的理解與應用是難點，也是關鍵，考查構造函數思想、化歸思想與推理證明能力，屬于難題．