Question

數列{x_n}對任意n∈N^*滿足（1+x_n）（1-x_n+1）=2，且x₁=2，則x₂₀₁₃•x₂₀₁₅的值為（　　）

• A、2
• B、1
• C、0
• D、-1

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：根據數列的遞推關系時，得到數列的周期為4，而，2013=503×4+1，2015=503×4+3，問題得以解決

解答： 解：∵（1+x_n）（1-x_n+1）=2，
∴x_n+1=1-

2

1+xn

，
∴x₂=1-

2

1+2

=

1

3

，
x₃=1-

2

1+ 1 3

=-

1

2

，
x₄=1-

2

1- 1 2

=-3，
x₅=1-

2

1-3

=2，
x₆=1-

2

1+2

=

1

3

，
由此可以得到數列{x_n}的周期為4，
故x₁=x₅=2
故x₂₀₁₅=x_503×4+3=x₃=-

1

2

，x₂₀₁₃=x_503×4+1=x₁=2，
故x₂₀₁₃•x₂₀₁₅=-1
故選：D

點評：本題主要考查遞推數列的應用，根據條件得到數列{x_n}的周期為4，是解決本題的關鍵．