Question

已知定義在R上奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），
（1）若f（1）≠1，且當x∈[1，2]時，函數g(x)=

f(x)

x

的值域為[-2，1]
①求函數f（x）的解析式；
②關于x的方程f（x）=3x+m有且只有三個實根，求m的取值范圍；
（2）若c=-3，f（x）+1≥0對于?x∈[-1，1]成立，求f（x）的表達式．

Answer 1

分析：（1）①先由f（x）是奇函數得出b=d=0，此時g（x）=ax²+c，再利用二次函數性質求解值域和解析式．
②由f（x）=3x+m有且只有三個根?x³-6x=m有且只有三個根；令μ（x）=x³-6x，利用導數研究其單調性、極值、最值，利用數形結合的思想求解m．
（2）當c=-3時，f（x）+1≥0對于?x∈[-1，1]成立；?ax³-3x+1≥0對于?x∈[-1，1]成立；令k（x）=ax³-3x+1，通過k（x）的最小值與0的關系求出a，得出解析式．

解答：解：（1）①由f（x）是奇函數得f（x）+f（-x）=0對于?x∈R成立，
即bx²+d=0對于?x∈R成立；所以b=d=0
此時g（x）=ax²+c，當a＜0時，g（x）在[1，2]遞減，則有f（1）=1又知f（1）≠1，
故a＞0時，g（x）在[1，2]遞增；則有f（1）=-2，f（2）=1解得a=1，c=-3；
所以f（x）=x³-3x
②由f（x）=3x+m有且只有三個根?x³-6x=m有且只有三個根；
令μ（x）=x³-6x，則μ′(x)=3x2-6=3(x+

2

)(x-

2

)，
令μ′(x)=0⇒x=±

2

x∈(-∞，-

2

)⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(-∞，-

2

)遞增；x∈(-

2

，

2

)⇒μ′(x)＜0⇒μ(x)在(-

2

，

2

)遞減；
x∈(

2

，+∞)⇒μ′(x)＞0⇒μ(x)在(

2

，+∞)遞增，
f(x)極大=f(-

2

)=4

2

，f(x)極小=f(

2

)=-4

2

，
故-4

2

＜m＜4

2

（2）當c=-3時，f（x）+1≥0對于?x∈[-1，1]成立?ax³-3x+1≥0對于?x∈[-1，1]成立；
令k（x）=ax³-3x+1，由k（1）≥0得a≥2
k′(x)=3ax2-3=3a(x+

1 a

)(x-

1 a

)，
因為 

1 a

≤

1 2

＜1，
所以k（x）在[-1，遞增，(-

1 a ，

1 a

)遞減，(

1 a

，1]遞增，
則必有

k( 1 a )≥0 k(-1)≥0

⇒a=4⇒f（x）=4x³-3x

點評：本題考查函數性質的綜合應用，考查導數的工具作用．屬于中檔題．