Question

（2012•日照一模）已知定義在R上奇函數(shù)f（x）滿足①對(duì)任意x，都有f（x+3）=f（x）成立；②當(dāng)x∈[0，

3

2

]時(shí)f(x)=

3

2

-|

3

2

-2x|，則f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的個(gè)數(shù)是（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：由題意可得奇函數(shù)f（x）是周期等于3的周期函數(shù)，則f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的個(gè)數(shù)，就是函數(shù)f（x） 與函數(shù) y=

1

|x|

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象得出結(jié)論．

解答：解：∵f（x+3）=f（x）成立，∴奇函數(shù)f（x）是周期等于3的周期函數(shù)．
當(dāng) 0≤x≤

3

2

時(shí)，f（x）=

2x ，  0 ≤x＜ 3 4 3-2x  ，   3 4 ＜x≤3

．
則f(x)=

1

|x|

在[-4，4]上根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)f（x） 與函數(shù) y=

1

|x|

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖所示：
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)的奇偶性與周期性的應(yīng)用，抽象函數(shù)的應(yīng)用，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．