Question

已知定義在R上奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），f（1）≠1；且當x∈[1，2]時，函數g(x)=

f(x)

x

的值域為[-2，1]．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）判斷函數f（x）在x∈[1，+∞）上的單調性（不需寫出推理過程），并寫出f（x）在其定義域上的單調區間；
（3）討論關于x的方程f（x）-t=0（t∈R）的根的個數．

Answer 1

分析：（1）由定義在R上奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可得 b=d=0，函數 g（x）=ax²+c，當a＞0時，g（x）在[1，2]上是增函數，再根據它的值域為[-2，1]，
可得 a+c=-2，4a+c=1，解得 a=1，c=-3，從而得到f（x）的解析式．當a＜0時，g（x）=ax²+c 在[1，2]上是減函數，可得a+c=1，不滿足f（1）≠1，故舍去．
（2）根據函數f（x）=x³ -3，可得在[1，+∞）是增函數．令它的導數為f′（x）=3x²＞0，可得x的范圍，即可得到增區間，此函數無減區間．
（3）關于x的方程f（x）-t=0的根的個數，即函數y=f（x）與函數y=t 的交點的個數．結合圖象，可得結論．

解答：解：（1）由定義在R上奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），可得 b=d=0，故f（x）=ax³ +cx．
再由f（1）≠1可得a+c≠1．
當x∈[1，2]時，函數g(x)=

f(x)

x

=ax²+c，當a＞0時，g（x）在[1，2]上是增函數，再根據它的值域為[-2，1]，
可得 a+c=-2，4a+c=1，解得 a=1，c=-3，故f（x）=x³ -3．
當a＜0時，g（x）=ax²+c 在[1，2]上是減函數，可得a+c=1，不滿足a+c≠1，故舍去．
綜上可得，f（x）=x³ -3．
（2）根據函數f（x）=x³ -3，可得在[1，+∞）是增函數．
令它的導數為f′（x）=3x²＞0，可得x＞0，或 x＜0，故函數的增區間為（-∞，0）、（0，+∞），即此函數的增區間為（-∞，+∞），此函數無減區間．
（3）關于x的方程f（x）-t=0的根的個數，即函數y=f（x）與函數y=t 的交點的個數．
結合圖象可得，函數y=f（x）與函數y=t 的交點的個數為1．

點評：本題主要考查方程的根的存在性及個數判斷，求函數的解析式和單調區間，函數的奇偶性的應用，體現了化歸與轉化、分類討論的數學思想，屬于中檔題．