Question

已知直線(xiàn)l：x-my+1-m=0（m∈R），圓C：x²+y²+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意m∈R，直線(xiàn)l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅱ）過(guò)圓心C作CM⊥l于點(diǎn)M，當(dāng)m變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡Γ的方程．
（Ⅲ）直線(xiàn)l：x-my+1-m=0與點(diǎn)M的軌跡Γ交于點(diǎn)M，N，與圓C交于點(diǎn)A，B，是否存在m的值，使得？若存在，試求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）方法1：先利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心C到直線(xiàn)l距離d，然后比較d與圓的半徑的大小即可判斷
方法2：聯(lián)立方程組直線(xiàn)與圓的方程，通過(guò)判斷方程解的個(gè)數(shù)即可判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系
方法3：將圓x²+y²+4x-2y-4=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程，而x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0可求直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)N（-1，-1）．由N在圓C內(nèi)，可判斷直線(xiàn)l與圓的位置關(guān)系
（Ⅱ）設(shè)CN的中點(diǎn)為D，由題意可知M點(diǎn)的軌跡T為以CN為直徑的圓可求軌跡T的方程
（Ⅲ）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的m，而??，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式及直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理即可求解m
解答：解：（Ⅰ）方法1：圓心C的坐標(biāo)為（-2，1），半徑為3
圓心C到直線(xiàn)l距離d==
∴
==＜0
∴d²＜9即d＜3
∴直線(xiàn)l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)
方法2：聯(lián)立方程組
消去x，得（m²+1）y²+（2m²+2m-2）y+（m²+2m-7）=0
△=（2m²+2m-2）²-4（m²+1）（m²+2m-7）=4（5m²+8）＞0
∴直線(xiàn)l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)
方法3：將圓x²+y²+4x-2y-4=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+（y-1）²=9．
由x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0．
解得x=-1，y=-1，所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)N（-1，-1）．
因?yàn)镹在圓C內(nèi)，所以直線(xiàn)l與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（Ⅱ）設(shè)CN的中點(diǎn)為D，由于∠CMN=90°
∴DM=CN
∴M點(diǎn)的軌跡T為以CN為直徑的圓．
CN中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-），．
∴所以軌跡T的方程為
（Ⅲ）假設(shè)存在m的值，使得如圖所示，有
??，
又MB²=9-d²，MN²=5-d²，
其中=為C到直線(xiàn)L的距離．
所以9-d²=4（5-d²），化簡(jiǎn)得m²+12m-8=0．解得m=．
所以存在m，使得且m=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)的應(yīng)用，注意（1）中解題的不同的解法的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性