Question

（2013•延慶縣一模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）與一定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為

1

2

．
（Ⅰ） 求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）已知直線l'：x=my+1交軌跡C于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l：x=4的垂線，垂足依次為點(diǎn)D、E．連接AE、BD，試探索當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD是否相交于一定點(diǎn)N？若交于定點(diǎn)N，請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用求軌跡方程的步驟，由題意列出滿足動(dòng)點(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離和它到一定直線l：x=4的距離之比為

1

2

的等式，整理后即可得到點(diǎn)P的軌跡；
（Ⅱ）如果存在滿足條件的定點(diǎn)N，則該點(diǎn)對(duì)于m=0的直線也成立，所以先取m=0，與橢圓聯(lián)立后解出A、B的坐標(biāo)，同時(shí)求出D、E的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式寫(xiě)出AE、BD所在的直線方程，兩直線聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，然后證明該點(diǎn)對(duì)于m取其它值時(shí)也滿足直線AE、BD是相交于定點(diǎn)N，方法是用共線向量基本定理．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
即2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
兩邊平方得：4x²-8x+4+4y²=x²-8x+16．
得 

x2

4

+

y2

3

=1．
所以動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡C的方程為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當(dāng)m變化時(shí)，直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N(

5

2

，0)．
證明：如圖，

當(dāng)m=0時(shí)，聯(lián)立直線x=1與橢圓 

x2

4

+

y2

3

=1，
得A(1，

3

2

)、B(1，-

3

2

)，
過(guò)A、B作直線x=4的垂線，得兩垂足D(4，

3

2

)、E(4，-

3

2

)．
由直線方程的兩點(diǎn)式得：直線AE的方程為：2x+2y-5=0，直線BD的方程為：2x-2y-5=0，
方程聯(lián)立解得x=

5

2

，y=0，所以直線AE、BD相交于一點(diǎn)(

5

2

，0)．
假設(shè)直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N(

5

2

，0)．
證明：設(shè)A（my₁+1，y₁），B（my₂+1，y₂），則D（4，y₁），E（4，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

消去x并整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=36m²-4×（3m²+4）×（-9）=144m²+144＞0＞0，
由韋達(dá)定理得y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">

NA

=(my1-

3

2

，y1)，

NE

=(

3

2

，y2)，
所以(my1-

3

2

)×y2-y1×

3

2

=my1y2-

3

2

(y1+y2)=

-9m

3m2+4

-

3

2

×

-6m

3m2+4

=0
所以，

NA

∥

NE

，所以A、N、E三點(diǎn)共線，
同理可證B、N、D三點(diǎn)共線，所以直線AE、BD相交于一定點(diǎn)N(

5

2

，0)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軌跡方程，考查了直線與橢圓的綜合，對(duì)于定點(diǎn)的存在性問(wèn)題，先找出滿足條件的特殊點(diǎn)，然后對(duì)其它情況進(jìn)行證明是該類問(wèn)題常用的方法．該題屬有一定難度題目．