Question

已知直線l：x-my+1-m=0（m∈R），圓C：x²+y²+4x-2y-4=0．
（Ⅰ）證明：對任意m∈R，直線l與圓C恒有兩個公共點．
（Ⅱ）過圓心C作CM⊥l于點M，當m變化時，求點M的軌跡Γ的方程．
（Ⅲ）直線l：x-my+1-m=0與點M的軌跡Γ交于點M，N，與圓C交于點A，B，是否存在m的值，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

？若存在，試求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法1：先利用點到直線的距離公式求出圓心C到直線l距離d，然后比較d與圓的半徑的大小即可判斷
方法2：聯立方程組直線與圓的方程，通過判斷方程解的個數即可判斷直線與圓的位置關系
方法3：將圓x²+y²+4x-2y-4=0化成標準方程，而x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0可求直線恒過定點N（-1，-1）．由N在圓C內，可判斷直線l與圓的位置關系
（Ⅱ）設CN的中點為D，由題意可知M點的軌跡T為以CN為直徑的圓可求軌跡T的方程
（Ⅲ）假設存在滿足條件的m，而

S△CMN

S△CAB

=

1

4

?

MN

2MB

=

1

4

?

MN

MB

=

1

2

，利用點到直線的距離公式及直線與圓相交的性質，結合勾股定理即可求解m

解答：解：（Ⅰ）方法1：圓心C的坐標為（-2，1），半徑為3
圓心C到直線l距離d=

|-2-m+1-m|

1+m2

=

|2m+1|

1+m2

∴d2-9=

4m2+4m+1

1+m2

-9
=

-5m2+4m-8

1+m2

=

-5(m- 2 5 )2- 36 5

1+m2

＜0
∴d²＜9即d＜3
∴直線l與圓C恒有兩個公共點
方法2：聯立方程組

x-my+1=0 x2+y2+4x-2y-4=0

消去x，得（m²+1）y²+（2m²+2m-2）y+（m²+2m-7）=0
△=（2m²+2m-2）²-4（m²+1）（m²+2m-7）=4（5m²+8）＞0
∴直線l與圓C恒有兩個公共點
方法3：將圓x²+y²+4x-2y-4=0化成標準方程為（x+2）²+（y-1）²=9．
由x-my+1-m=0可得：x+1-m（1+y）=0．
解

x+1=0 y+1=0

得x=-1，y=-1，所以直線l過定點N（-1，-1）．
因為N在圓C內，所以直線l與圓C恒有兩個公共點．
（Ⅱ）設CN的中點為D，由于∠CMN=90°
∴DM=

1

2

CN
∴M點的軌跡T為以CN為直徑的圓．
CN中點D的坐標為（-

3

2

，0），CN=

5

．
∴所以軌跡T的方程為(x+

3

2

)2+y2=

5

4

（Ⅲ）假設存在m的值，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

如圖所示，有

S△CMN

S△CAB

=

1

4

?

MN

2MB

=

1

4

?

MN

MB

=

1

2

，
又MB²=9-d²，MN²=5-d²，
其中d=

|-2-m+1-m|

1+m2

=

|2m+1|

1+m2

為C到直線L的距離．
所以9-d²=4（5-d²），化簡得m²+12m-8=0．解得m=-6±2

11

．
所以存在m，使得

S△CMN

S△CAB

=

1

4

且m=-6±2

11

．

點評：本題主要考查了直線與圓相交的性質的應用，注意（1）中解題的不同的解法的應用，本題具有一定的綜合性