Question

如圖，已知直線l：x=my+4（m∈R）與x軸交于點P，交拋物線y²=2ax（a＞0）于A，B兩點，坐標原點O是PQ的中點，記直線AQ，BQ的斜率分別為k₁，k₂．
（Ⅰ）若P為拋物線的焦點，求a的值，并確定拋物線的準線與以AB為直徑的圓的位置關系．
（Ⅱ）試證明：k₁+k₂為定值．

Answer 1

分析：（I）由直線方程算出P（4，0），從而得出a=8．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），根據拋物線的定義列式，化簡可得M到準線的距離d恰好等于圓的半徑，從而得到直線與圓相切．
（II）直線l與拋物線消去x，得y²-2amy-8a=0，利用根與系數的關系將k₁+k₂化成關于A、B坐標的式子，化簡整理可得k₁+k₂=0，即k₁+k₂為定值．

解答：解：（Ⅰ）由直線l：x=my+4得點P（4，0），故

a

2

=4⇒a=8…（2分）
設交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），它們的中點M(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)，
設點M到拋物線的準線的距離為d，則d=

x1+x2

2

+4，…（4分）
∵r=

1

2

|AB|=

x1+4+x2+4

2

=

x1+x2

2

+4=d，
∴拋物線的準線與以AB為直徑的圓相切．…（6分）
（Ⅱ）由直線l：x=my+4得點P（4，0），∴Q（-4，0），
將直線l：x=my+4與拋物線的方程y²=2ax聯立得y²-2amy-8a=0，
∵△＞0恒成立，

y1+y2=2am y1y2=-8a

(*)

…（9分）
∴k1+k2=

y1

x1+4

+

y2

x2+4

=

y1(x2+4)+y2(x1+4)

(x1+4)(x2+4)

=

y1(my2+8)+y2(my1+8)

(x1+4)(x2+4)

…（11分）
即k1+k2=

2my1y2+8(y1+y2)

(x1+4)(x2+4)

，代入（*）得k₁+k₂=0，故k₁+k₂為定值得征．…（13分）

點評：本題給出拋物線的焦點弦為直徑的圓，求該圓與準線的位置關系．著重考查了拋物線的定義、簡單幾何性質，直線與圓的位置關系和直線的斜率等知識，屬于中檔題．